Rigorous formulation of space charge wake function and impedance by solving the three-dimensional Poisson equation

3次元ポアソン方程式の解を使った空間電荷効果の厳密な定式化

菖蒲田 義博   ; Chin, Y. H.*

Shobuda, Yoshihiro; Chin, Y. H.*

空間電荷効果の計算はビームを2次元にスライスして、2次元ポアソン方程式を解いて求めるのが一般的である。これは、最初から電磁場のビームの縦方向への漏れの効果を無視した近似を使っている。同様な近似は空間電荷効果のインピーダンスの表記でも適応しており、この手法に従う限り、この近似の正当性は理解できない。そこで、我々は3次元ポアソン方程式を解くことでこの近似の正当性を調べた。これによって、ビームの縦方向のrmsサイズがチェンバーの半径より十分長ければ、この近似が有効であること。また、この適応条件下で2次元のポアソン方程式を適応するには、縦方向に2倍のrmsサイズの5分の1以下にスライスする必要があることが明らかとなった。空間電荷効果の計算は、J-PARCの加速器運転で重要な役割を果たしており、これが正確にできないとビームロスの評価にも影響を与える。今回の研究によって、2次元ポアソン方程式を解いて空間電荷効果を求めるという従来の手法が、J-PARCの陽子ビームの挙動評価に関しては正当化されることが明らかになった。

In typical numerical simulations, the space-charge force is calculated by slicing a beam into manylongitudinal segments and by solving the two-dimensional Poisson equation in each segment. Thismethod neglects longitudinal leakage of the space-charge force to nearby segments owing to itslongitudinal spread over 1/Lorentz-. By contrast, the space-charge impedance, which is the Fourier transformof the wake function, is typically calculated directly in the frequency-domain. So long as we followthese approaches, the longitudinal leakage effect of the wake function will remain to be unclear. In thepresent report, the space-charge wake function is calculated directly in the time domain by solving thethree-dimensional Poisson equation for a longitudinally Gaussian beam. We find that the leakage effectis insignificant for a bunch that is considerably longer than the chamber radius so long as the segmentlength satisfies a certain condition. We present a criterion for how finely a bunch should be sliced so thatthe two-dimensional slicing approach can provide a good approximation of the three-dimensional exactsolution.