Data-driven derivation of partial differential equations using neural network model

ニューラルネットワークモデルを用いたデータ駆動型偏微分方程式の導出

小山田 耕二*; Yu, L.*; 河村 拓馬 ; 小西 克己*

Koyamada, Koji*; Yu, L.*; Kawamura, Takuma; Konishi, Katsumi*

流体や気象,宇宙観測など様々な分野においてセンサー技術が向上し、そこから得られたビッグデータに対して偏微分方程式(PDE)による説明モデルを導出することは重要な課題である。本論文では、時空間的に離散した点群データを対象にして、高階の微分を含む線形のPDEを推定する技術を提案する。この技術では点群データを学習したニューラルネットワーク(NN)から時間・空間の微分値を計算し、回帰分析技術を用いてPDEの微分項を推定する。実験では、厳密解を持つPDEを対象にして、様々なメタパラメータに対して推定PDEの誤差を計算した。その結果、NNの階層を厳密解のPDEに含まれる微分項の階数に合わせて増やし、回帰分析の手法としてLASSOによるL1正則化を採用することでモデルの精度が高まると分かった。

With the improvement of sensors technologies in various fields such as fluid dynamics, meteorology, and space observation, it is an important issue to derive explanatory models using partial differential equations (PDEs) for the big data obtained from them. In this paper, we propose a technique for estimating linear PDEs with higher-order derivatives for spatiotemporally discrete point cloud data. The technique calculates the time and space derivatives from a neural network (NN) trained on the point cloud data, and estimates the derivative term of the PDE using regression analysis techniques. In the experiment, we computed the error of the estimated PDEs for various meta-parameters for the PDEs with exact solutions. As a result, we found that increasing the hierarchy of NNs to match the order of the derivative terms in the exact solution PDEs and adopting L1 regularization with LASSO as the method of regression analysis increased the accuracy of the model.