微積分の考え方「変数が増えた時の微積分」

佐々 成正

数理科学, 56(5), p.22 - 28, 2018/05

本発表は、材料研究開発支援のための高度基盤の研究開発に従い実施した計算手法に関する研究成果である。原子力工学を含む工学分野においてその基礎となっている微積分学に関する簡単な解説を行った。特に、空間次元が増えた場合に対し、スカラー,ベクトル場の概念や積分定理の概念についての説明を行った。

Poincar integral invariant and momentum conservation in symplectic time integration of Hamiltonian partial differential equations

佐々 成正

Journal of the Physical Society of Japan, 86(7), p.074006_1 - 074006_6, 2017/07

https://doi.org/10.7566/JPSJ.86.074006

ハミルトン系偏微分方程式の時間発展問題を考える。特に元の偏微分方程式系で運動量保存則が成り立っている時、時間発展手法にシンプレクティック数値積分法を用いると運動量保存則が数値計算においても保存されることを一般的に証明した。この証明には、ハミルトン系の相空間における保存則を満たすポアンカレ不変量(相空間におけるLouvilleの定理の最低次元版)を用いた。

Momentum conservation law in symplectic integrators for partial differential equations

佐々 成正

Journal of the Physical Society of Japan, 83(12), p.123003_1 - 123003_4, 2014/12

https://doi.org/10.7566/JPSJ.83.123003

材料研究開発支援のための高度基盤の研究開発に従い実施した量子凝縮系非線形ダイナミクスに 対する並列シミュレーション計算手法に関する研究成果である。大規模並列計算における計算手法として、エネルギー保存、運動量保存を満たす陰的なシンプレクティック数値積分を考案し、その保存性能を理論的に検証した。また、数値シミュレーション実行時に計算の信頼性の指標となる保存則を実際の計算においてモニターし、従来手法よりも高精度を保つことを例証した。

Momentum conservation law in explicit symplectic integrators for a nonlinear Schrdinger-type equation

佐々 成正

Journal of the Physical Society of Japan, 82(5), p.053001_1 - 053001_4, 2013/05

https://doi.org/10.7566/JPSJ.82.053001

本発表は、材料研究開発支援のための高度基盤の研究開発計画の下実施した量子凝縮系非線形ダイナミクスに対する並列シミュレーション計算手法に関する研究成果である。大規模並列計算における計算手法として、確率密度保存,エネルギー保存,運動量保存を満たす差分シンプレクティック数値積分を考案しその保存性能を検証する手法を新たに開発した。特に、運動量保存則に対して、それが成り立つための物理的条件を明らかにしたうえ、理論的説明も与えた。さらに計算の信頼性の指標となる保存則をモニターした結果を示し、従来手法よりも高精度を保つことを実証した。

Energy spectra of quantum turbulence; Large-scale simulation and modeling

佐々 成正; 叶野 琢磨*; 町田 昌彦; L'vov, V. S.*; Rudenko, O.*; 坪田 誠*

Physical Review B, 84(5), p.054525_1 - 054525_6, 2011/08

https://doi.org/10.1103/PhysRevB.84.054525

本論文は、超流動における乱流現象を捉えた大規模シミュレーション結果とその理論的解釈を主題とした論文である。大規模シミュレーションは、超流動乱流の動力学的性質や統計的性質を解明するため、最大規模で2048メッシュというサイズで実施され、おもに地球シミュレータを利用し実行されている。その結果、さまざまなサイズで測定されたスペクトルを比較することで、高波数側で超流動特有のエネルギー散逸が現れることを高精度に捉えることに成功し、2008年に提案されていたL'vov-Nazarenko-Rudenkoによる慣性領域に続いて現れるボトルネック効果を例証した。なお、本成果は、超流動乱流の理解という基礎研究上の一つの成果ではあるが、液体ヘリウムを利用した高精度な放射線検出器開発に対しても有用な知見を与える成果でもある。

平成17年度シミュレーション工学研究実績評価報告

大谷 孝之; 佐々 成正; 清水 大志; 鈴木 喜雄

JAEA-Review 2007-009, 36 Pages, 2007/03

JAEA-Review-2007-009.pdf:2.74MB

システム計算科学センターにおいては、「独立行政法人日本原子力研究開発機構の中期目標を達成するための計画(中期計画)」に基づき、シミュレーション工学研究に関する研究開発を実施している。この研究開発の効率的・効果的推進に資することを目的として、機構外の有識者・専門家による研究評価及び示唆を受けるため、機構の原子力コード研究委員会の下に原子力計算科学研究評価専門部会が設置された。本報告は、平成17年度にシステム計算科学センターにおいて実施されたシミュレーション工学研究の実績を原子力計算科学研究評価専門部会が評価した結果をとりまとめたものである。

スプリッティング法による超伝導Ginzburg-Landau方程式の数値解法

佐々 成正

日本応用数理学会論文誌, 14(2), p.91 - 98, 2004/06

時間依存ギンツブルグーランダウ方程式は超伝導状態の時間発展を記述する方程式である。系の時間発展をシミュレーションするとき、ベクトルポテンシャルに対するマックスウェル方程式も同時に解くことが要求される。われわれはこのシステムを解く数値解法としてスプリッティング法を用いてその有効性を検証した。まず、このシステムに通常用いられている格子ゲージ理論を応用した差分スキームと比較して、われわれのスキームの方が数値安定性において優れていることを確認した。さらに、同様の計算精度を持ったRunge-Kutta法に対して、われわれの手法は必要な配列(メモリー)が少ないことが確認できた。これは計算が大規模になればなるほど重要となる特徴である。したがって、スプリッティング法は数値的に安定でかつ大規模問題に適した数値解法であることが、具体例を通して実証された。

AMG(Algebraic Multi Grid)による超伝導Ginzburg-Landau方程式の解法

佐々 成正; 町田 昌彦; 山田 進; 荒川 忠一

計算工学講演会論文集, 7(1), p.171 - 172, 2002/05

代数的マルチグリッド(AMG)を低温,磁場中での超伝導状態を記述するギンツブルグ-ランダウ方程式に適用し、これを数値的に解いた。AMGを用いる利点は主に次の2点である。まず、AMGを用いると大規模な連立1次方程式系を効率良く解けること。さらに幾何的マルチグリッドとは異なり、境界条件が複雑な場合にでも適用可能であることが挙げられる。現実のシステムでは複雑な形状下でのシミュレーションを行なわなければならないから、AMGの使用が不可欠である。通常ギンツブルグ-ランダウ方程式は緩和法で解かれることが多いが、AMGを使った方法の方が計算効率が良いことがわかった。

シンプレクティック数値解法の非線形偏微分方程式への応用

佐々 成正; 吉田 春夫*

応用数学合同研究集会報告集, 4 Pages, 2000/12

シンプレクティック数値解法はハミルトン系に対する専用数値解法で系のエネルギーを(一定の幅の中で)保存する性質を持っている。さらに陽的な解法が構成できる場合には高次解法の実装が容易で、例えば4次の解法は2次の解法を3回組み合わせることで構成できる。同様に6次、8次の解法も2次の解法の組み合わせで実現されることがわかっている。このシンプレクティック数値解法を非線形偏微分方程式系に応用し、高速かつ高精度の数値解法の実装を目指す。具体的な適用例は非線形シュレーディンガー方程式やサインゴルドン方程式等についての考察である。これらの系ではルンゲクッタ法等の従来からある方法よりも効率の向上が確認できた。

極低温原子気体における非線形ダイナミクス

佐々 成正

no journal, , 

近年、気体原子を極低温に冷却し量子凝縮相に転移させることで、超流動・超伝導系と同様な巨視的量子状態を出現させることが可能となった。そのため、この系に対する基礎物性の研究及び、デバイス応用を目指した研究が精力的に行われている。われわれはこれまで、特にボゾン系を記述する基礎方程式の非線形ダイナミクスに着目し、大規模数値シミュレーションを駆使して、系の基本的なダイナミクスを明らかにする研究を行ってきた。最近、フェルミ原子系に対しても、同様な巨視的量子状態の出現が可能になり、注目を集めている。われわれは、これまでの手法をフェルミ原子系に応用することで、まだあまり明らかにされていないフェルミ原子系における非線形ダイナミクスの解析を行った。1つの結果として、通常拡散係数に比例する、散逸現象の特徴的時間スケールが別のパラメータにも依存するため同じ拡散係数下においても散逸過程が非常に長くなる場合があることを見いだした。